MAKALAH MATEMATIKA PHITAGORAS

MAKALAH

MATEMATIKA

(PYTHAGORAS, TRAPESIUM, GARIS SINGGUNG LINGKARAN)

Disusun Oleh:

ILHAM NAZAMUDIN

KELAS VIII A

SMP NEGERI 1 DARMARAJA

KECAMATAN DARMARAJA KABUPATEN SUMEDANG

2015

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

            Pythagoras (582 SM - 496 SM) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui salah satu teoremanya, yaitu dalil Pythagoras. Walaupun fakta didalam dalil ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia lah yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis.

            Dalil Pythagoras mengungkapkan hubungan antara sisi-sisi pada suatu segitiga siku-siku. Banyak permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan segitiga siku-siku atau sudut siku-siku, misalnya:

a)        Menentukan sisi miring dari sisi miring suatu kuda-kuda rumah.

b)        Membuat pojok-pojok suatu lapangan bola volly agar betul-betul siku-siku.

Melalui penerapan dalil Pythagoras permasalahan itu akan dapat diselesaikan

B.     Rumusan Masalah

1.        Bagaimana rumus Pythagoras dalam berbagai sisi segitiga siku-siku?

2.        Dalam kehidupan sehari-hari digunakan untuk mengukur apa saja teorema Pythagoras?

3.        Bagaimana rumus Trapesium?

4.        Bagaimana Rumus Garis Singgung Lingkaran?

.

BAB II

PEMBAHASAN

1.     Menghitung Panjang Sisi Segitiga Siku-Siku Menggunakan Dalil Pythagoras

Coba perhatikan Gambar 5.3. Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi miring b, panjang sisi alas c, dan tinggi a. Berdasarkan, teorema Pythagoras, dalam segitiga siku-siku tersebut berlaku:

 Sekarang, bagaimana menentukan panjang sisi-sisi yang lain? seperti panjang sisi alas c atau tinggi a? Dengan menggunakan rumus umum teorema Pythagoras, diperoleh perhitungan sebagai berikut:

Dari uraian tersebut, penulisan teorema Pythagoras pada setiap sisi segitiga siku-siku dapat dituliskan sebagai berikut:

Perhitungan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, Jika dua sisi yang lain diketahui

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku rumus: 

1.	Jika sisi a dan b diketahui , maka sisi c dapat dihitung dengan rumus  :   c2   =   a2   +    b2
2.	Jika sisi b dan c diketahui , maka sisi a dapat dihitung dengan rumus  :   a2   =   c2   -    b2
3.	Jika sisi a dan c diketahui , maka sisi b dapat dihitung dengan rumus  :   b2   =   c2   -    a2

2.     Penerapan Teorema Pythagoras dalam Kehidupan Sehari-hari

Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali masalah - masalah yang dapat dipecahkan menggunakan teorema Pythagoras. Untuk mempermudah perhitungan, alangkah baiknya jika permasalahan tersebut dituangkan dalam bentuk gambar.

Coba kamu perhatikan dan pelajari contoh - contoh soal berikut ini secara saksama.

Dalil Phytagoras sangat mudah untuk diaplikasikan dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan segitiga siku-siku.

Selain mudah diaplikasikan, dalil Pythagoras juga memiliki peranan dalam kehidupan sehari-hari..,, misalnya untuk mengetahui tinggi layangan yang kita terbangkan. Kita tidak usah menggunakan alat ukur untuk mengukur tinggi layangan dari atas tanah, cukup dengan mengetahui panjang tali yang kita gunakan untuk bermain layang-layang dan juga jarak dari pemain layang-layang terhadap layang-layang, maka kita bisa menentukan tinggi dari layang-layang.

3. BANGUN DATAR  TRAPESIUM

A.Dfinisi trapesium

Trapesium adalah segiempat yang hanya mempunyai dua sisi sejajar.

Adapun jenis-jenis trapesium yaitu:

Trapesium siku-siku

Trapesium siku-siku adalah trapesium yamg mempunyai tepat dua sudut siku-siku,satu sudut alas dan lainnya sudut atas.

Trapesium sama kaki

Trapesium sama kaki adalah trapesium yang kaki-kakinya (dua sisinya) sama panjang.

Trapesium sembarang

Trapesium sembarang adalah  trapesium yang keempat sisinya tidak sama panjang.

Sifat-sfat trapesium  yaitu:

1.   Pada trapesium sama kaki ABCD, sudut-sudut alasnya sama besar dan sudut puncaknya sama besar.

2.   Pada trapesium sama kaki ABCD, diagonalnya sama panjang  (AC = BD).

3.   Pada trapesium  sembarang ABCD u<A +  u<C = u<B + u<D = = 180o

4.   Pada trapesium sembarang ABCD memiliki sepasang sisi sejajar AB//CD.

Contoh aplikasi sifat-sifat trapesium:

Panjang AD = Panjang  BC 

Sudut DAB = Sudut ABC = Bukan sudut siku-siku

Sudut CDA = Sudut DCB =bukan sudut siku-siku

Jadi, bangun IJKL adalah  trapesium

B.Keliling dan Luas trapesium

Keliling trapesium

Pada gambar trapesium diatas mempunyai sisi AB, BC, CD, dan AD. Keliling trapesium ABCD adalah jumlah dari panjang semua sisinya yaitu AB + CD + AD + BC.

Sehingga rumus keliling trapesium adalah

Jika belah ketupat ABCD dengan sisi AB, BC, CD, dan AD dan keliling K, maka

K=AB + CD +AD + BC

Luas Trapesium

Trapesium diatas mempunyai dua sisi sejajar yaitu sisi alas AB dan sisi puncak CD, dan tinggi t. Sehingga dapat kita rumuskan luas trapesium sebagai berikut:

Jika trapesium ABCD dengan sisi sejajar AB dan CD, tinggi t dan luas L, maka

L=1/2  X (AB + CD) X t    atau

L=jumlah rusuk sejajar x timggi

Contoh

1.Suatu trapesium sama kaki ABCD dengan panjang AB= 24 cm dan CD = 12 cm, BC = 10 cm dan tinggi 8 cm, hitunglah keliling dan luasnya!

Jawab:

K = AB + BC + CD + AD

24 cm + 10 cm + 12 cm + 10 cm = 56 cm

L = ½ X (AB + CD) X  t    

                   ½ x 36 cm x 8 cm = 144 cm ²

Jadi keliling trapesuium adalah 56 cm, dan luasnya 144 cm.

5.    Persamaan Garis Singgung

Sekarang kita akan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 = r2, yaitu lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari r. Perhatikan gambar (ilustasi) berikut.

Persamaan Lingkaran
x² + y² = r²

Catat bahwa setiap garis singgung Tepat akan menyentuh 1 (satu) titik di lingkaran. Oleh karena itu kita bisa menarik garis dari titik singgung tersebut ke pusat lingkaran yang juga akan membentuk Jari-jari Lingkaran. 

Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1

Persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran
x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2.

 Contoh Soal :
 Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2, –3) pada lingkaran
 x2 + y2 = 13.
 Jawab :
 Dik : x1 = 2, y₁ = –3 dan L = x2 + y2 = 13
 Maka :
 x₁ x + y₁ y = r²
 2x + (-3) y = 13
 2x - 3y = 13

2x - 3y - 13 = 0

Persamaan Garis Singgung Lingkaran 2

persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dan berjari-jari r. 

Dari ilustarsi diatas kita bisa menentukan Rumus nya yaitu : 

Jika L = (x – a)2 + (y – b)2 = r2  ,
maka persamaan garis singgungnya adalah :
(x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2.

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

1.      Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku rumus: 

1.	Jika sisi a dan b diketahui , maka sisi c dapat dihitung dengan rumus  :   c2   =   a2   +    b2
2.	Jika sisi b dan c diketahui , maka sisi a dapat dihitung dengan rumus  :   a2   =   c2   -    b2
3.	Jika sisi a dan c diketahui , maka sisi b dapat dihitung dengan rumus  :   b2   =   c2   -    a2

Contoh aplikasi sifat-sifat trapesium:

Panjang AD = Panjang  BC 

Sudut DAB = Sudut ABC = Bukan sudut siku-siku

Sudut CDA = Sudut DCB =bukan sudut siku-siku

Jadi, bangun IJKL adalah  trapesium

Persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran
x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2.

2.      Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali masalah - masalah yang dapat dipecahkan menggunakan teorema Pythagoras misalnya untuk menghitung tinggi dinding, panjang tangga, tinggi layang-layang, dll.

DAFTAR PUSTAKA

Lapis matematika 3

http://soerya.surabaya.go.id/Aup/e-DU.KONTEN/edukasi.net/Matematika/Dalil.Pythagoras/Perhitungan.html

http://www.crayonpedia.org/mw/BSE:Teorema_Pythagoras_dan_Garis-Garis_Pada_Segitiga_8.1_(BAB_5)