MAKALAH PELUANG MATEMATIKA

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG MASALAH

Hitung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan hari ini. Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil keuntungan. Masih banyak contoh lagi yang berkaitan dengan peluang.

B.     TUJUAN PENULISAN

1.         Untuk memenuhi tugas matematika yaitu tentang peluang.

2.         Sebagai media belajar siswa yang memberikan banyak latihan yang dapat menunjang belajar mahasiswa.

3.         Diharapkan siswa memiliki kemampuan dalam menjelaskan konsep-konsep dalam peluang dan dapat menyelesaikan masalah tentang peluang.

C.    RUANG LINGKUP

Membahas materi tentang peluang yang sesuai dengan materi dalam standar isi.

BAB II

PEMBAHASAN

A.           Pengertian Peluang

Dasar logika proses pengambilan inferensi statistik tentang suatu populasi dengan analisa data sampel adalah peluang. Peluang adalah bilangan yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Peluang mempunyai nilai antara 0 dan 1. Peluang berhubungan dengan percobaan yang menghasilkan sesuatu yang tidak pasti.

B.            Ruang sampel dan kejadian ( peristiwa )

Ruang sampel (sample space) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Peristiwa (kejadian, event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel

♣ Peristiwa sederhana: hanya memuat 1 elemen saja

♣ Peristiwa bersusun: gabungan dari peristiwa-peristiwa sederhana

♣ Jika hasil suatu experimen termasuk dalam himpunan A, maka dapat dikatakan bahwa peristiwa A telah terjadi.

Percobaan adalah suatu tindakan atau proses pengamatan yang menghasilkan outcome yang tak dapat diperkirakan kepastiannya.

Notasi :

♣ Ruang sampel ditulis dengan notasi S

♣ Peristiwa dinotasikan dengan huruf besar: peristiwa2 A, B, C, dst.

♣ Anggota (elemen) ruang sample dinotasikan dengan huruf kecil: a1, a2, a3, dst. Anggota / elemen ruang (sample point)

♣ Jika ruang sampel S beranggotakan a1, a2, dan a3, maka ruang sampel yang bersangkutan dapat disajikan sebagai: S = {a a1, a , a2, a , a3}

♣ Jika peristiwa A beranggotakan a1, a2, dan a3, maka peristiwa yang bersangkutan dapat dinotasikan sebagai A = {a1, a2, a3}

Contoh 1

Percobaan: Koin (head dan tail) dilempar 1 kali

Hasil: tampak H (head) atau T (tail)

Ruang sampel S = {H, T}

Peristiwa: A = {H, T}

C.           Peluang Suatu Kejadian

Aksioma peluang :

Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan tersebut disebut peluang.

a)        Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai pelauang nol dan dinamakan kejadian mustahil.

b)        Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu (peluang ruang sampel adalah satu)

c)        Peluang kejadian A bernilai antara 0 dan 1, yaitu 0 £ P (A) £1

d)       Jika A dan B adalah kejadian sehingga AÇB = Æ,maka P(AÈB) = P(A) + P (B)

Berdasarkan definisi di atas kita akan menentukan arti peluang dari kejadian sederhana. Jika kita mempunyai ruang sampel dengan anggota sebanyak n. selanjutnya jika kita anggap bahwa kesempatan muncul setiap anggota tersebut juga sama. Jika peluang muncul satu anggota adalah p, dan berdasarkan Aksioma (2),maka

p+ p+ p+…+ p =1

n suku

np = 1 Û p =

Misalnya pada [elemparan satu dadu berisi enam,peluang muncul angka 2 adalah

P =  =

Sifat : Nilai Peluang

Dalam ruang sampel (S) yang setiap kejadian sederhana mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian A adalah

P(A) =  =

Contoh

Kita mempunyai 4 bola putih (P) dan 3 bola merah (M). kemudian diambil satu bola secara acak. Tentukan peluang terambil bola merah.

Penyelesaian

Ruang sampel dari pengambilan satu bola adalah S = {P,P,P,P,M,M,M} dengan setiap bola mempunyai peluang yang sama untuk terambil. Misalnya kejadian terambil bola merah adalah A, maka n(A) = 3. Jadi,peluang kejadian terambilnya bola merah adalah P(A) = .

D.           Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan adalah peluang kejadian tersebut dikalikan banyak percobaan. Misalnya kita melakukann kali percobaan dan A adalah kejadian dengan peluang p dengan (0 £ p£ 1). Frekuensi harapan dari kejadian A adalah p Î n. Jika E adalah suatu kejadian dalam ruang contoh S dan P(E) adalah peluang terjadinya E dalam nkali percobaan maka frekuensi harapan kejadian E didefinisikan :

F(E) = P(E) Î n

Contoh

Sekeping uang logam dilempar 30 kali,maka frekuensi harapan muncul gambar adalah. . .

Penyelesaian

F(G) =  Î 30 = 15 kali

E.            Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk dapat dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan menggunakan operasi antarhimpunan,suatu kejadian majemuk dapat dibentuk dari dua kejadian majemuk yang lain. Operasi antarhimpunan yang dimaksudkan adalah operasi gabungan (union) dan opersi irisan.

F.            Peluang dari Gabungan Kejadian

Misalnya A dan B adalah dua kejadian yang terdapat dalamruang sampel S,maka peluang kejadian A atauB adalah P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)

         

G.           Peluang Gabungan Dua kejadian Saling Lepas

Apabila A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas ,maka peluang gabungan dua kejadian itu adalah P(AÈB) = P(A) + P(B).

H.           8.    Peluang Komplemen suatu kejadian

Misal sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Kejadian A adalah munculnya bilangan 3 dan ditulis A = {3}. Kejadian A¢ adalah munculnya bukan bilangan 3, ditulis A¢ (dibaca: A komplemen) = {1,2,3,4,5,6}. Diagram Venn untuk himpunan A dan A¢ dapat digambarkan seperti berikut.

Dari gambar di atas tampak bahwa AÇA¢ = Æ sehingga kejadian A dan kejadian A¢ merupakan kejadian yang saling lepas. Dengan demikian berlaku hubungan

P(AÈA¢) = P(A) + P(A¢)        (*)

Karena A¢ merupakan komplemen A , maka AÈA¢ = S atau n(AÈA¢) = n (S). Jadi,

P(AÈA¢) =  =  = 1      (**)

Substitusi persamaan (**) ke persamaan (*) akan menghasilkan

P(AÈA¢) = 1 =  P(A) + P(A¢) Û P(A¢) = 1 – P(A)

Sehingga dapat dinyatakan bahwaApabila A dan A¢ merupakan dua buah kejadian yang saling komplemen, maka peluang komplemen kejadian A, ditulis P(A¢), adalah  P(A¢) = 1 – P(A)

I.              Kejadian yang Saling Bebas

Misalkan dua buah bola akan diambil secara acak dari sebuah tas yang memuat 4 bola merah dan 3 bola biru. Berapa peluang keduanya bola merah? Jika A kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan pertama dan B kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan kedua. Ruang sampel S di bawah ini akan disajikan dengan dua versi yaitu dengan pengembalian dan tanpa pengembalian. Persoalan yang akan dibahas adalah P(A dan B) atau P(A Ç B).

     

J.              Permutasi 

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga 
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri 

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

K.           Kombinasi 

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , 

Contoh :
Diketahui himpunan  .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri 

Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!

BAB III

PENUTUP

A.           Kesimpulan

a)        Di dalam makalah ini kita dapat mempelajari matematika tentang peluang. Pada bab peluang, materinya meliputi kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, ekspansi binominal, ruang sampel, peluang, frekuensi harapan, komplemen dan kejadian majemuk.

b)        Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peristiwa. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil/kejadian yang mungkin terjadi dan dilambangkan dengan S. Di dalam peluang dikenal ruang sampel dan titik sampel. Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya.

c)        Sifat-sifat peluang, misalnya S suatu ruang sampel dan A suatu kejadian pada ruang sampel S.

d)       Jika A = Ø maka P (A) = O

e)        Nilai peluang kejadian A, yaitu P (A) berkisar dari O sampai 1 (O ≤ P (A) ≤ 1).

f)         Jika S ruang sampel maka P (S) = 1.

B.       Saran

Dalam peluang yang memiliki pengertian himpunan kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Pastinya perhitungan matematika dengan menggunakan peluang digunakan manusia dalam kehidupan sehari-hari dimana kita sering dihadapkan pada suatu pertanyaan yang tidak diketahui jawabannya tetapi harus dijawab mungkin atau tidak mungkin. Saran kami peluang itu tidak harus digunakan dalam kegiatan sehari-hari karena perhitungan menggunakan peluang cukup rumit. Dan sebagian besar disekitar kita juga ada yang tidak bisa menghitung. Jadi dalam mengetahui sesuatu hal bukan hanya bisa menggunakan perhitungan peluang saja tetapi bisa juga dengan praktik.